数学史

世纪末的回眸：数学史上的呻吟

胡桢

　　二十世纪即将过去了，在这世纪末的最后几天里，回眸该世纪人类所走过的历程:有值得欣慰的，也有让人感到遗憾的。欣慰的是，在全人类共同努力下，已初步建立了国际大家庭的模式，在联合国的旗帜下，为解决人类的争端开辟了和平协商的基础。遗憾的是，毕竟是在二十世纪的历史中，发生了有史以来人类最为残酷的两次世界大战，造成无辜的人大量的死亡。血的教训是惨重的，人类为了好好地生存下去，牢记在心，使之永远不再发生此类事情，已成了许多人终身为之奋斗的目标。

　　政治上的平和让人欣慰，同样，科技上的成就也是值得庆贺的。在二十世纪中，许多科技上的突破于世纪之初的人类是无法想象的。原子能的利用、卫星上天、Internet的建立等都给人类带来无比的欣慰，人们可以大声地宣布说一声：二十世纪啊!余无愧于汝。

　　但是，在科技研究领域上，真的一点遗憾也没有吗？鄙人不才，仅是一个业余数学爱好者，却在自己感兴趣的数论领域内发现，数学，正在经历一场灾难性的磨练。

　　美国著名数学史家H·彭加勒先生在其《数学：确定性的丧失》一书的序言中指出：【战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起智力悲剧。...事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不公包括错误的证明，推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的不充分理解，无法真正认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；就是说，直觉、实证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。...哥德尔表明，对已取得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理引起一声巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化－－演绎方法看来也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同时也把数学家分成了更多的相异群体。...与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完美无缺的逻辑的拙劣模仿。...真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何种方法用于数学是最保险的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到证明方法看起来似乎很安全的数学领域。】美国著名数学史家H·彭加勒先生虽然悲观了些，但他的观点并非没有道理。数学与逻辑的关系究竟如何？从数学的实践出发，列举一些二十世纪内数学所取得的成果，并加以分析，则可为数学与逻辑之间究竟处于什么样的关系，提供一些必要的证词。鄙人不才，仅对数论感兴趣，故只能列举一些数论方面的事例。分别以：①素数定理、②加法关系中的素数分布问题、③哥德尔、④集合的基数、⑤费尔马大定理，这五个小标题，浅谈一些看法。

　　一：素数定理

　　用初等方法证明素数定理是二十世纪中期的事，匈牙利数学家保罗·埃尔德什于1949年，和塞尔伯格用初等方法(当然很复杂)首次证明了素数定理(高等证法在1896年给出)，推翻了哈代的观点，对世界数学界引起了极大轰动。显然，对素数定理的讨论也是可以被列入二十世纪之事宜。

　　何谓素数定理？原来是指由大数学家高斯先生所提议的以Lix(x)函数来替代计算自然数列中素数之个数的π(x)函数之事。由于在π(x)函数中，无穷无尽的取整使得对π(x)函数的计算变成十分繁琐，当x→∞时，根本就不可能再进行计算，而Lix(x)函数在数值上的统计有与π(x)函数十分接近的数值。针对此一现象，高斯先生提议用Lix(x)函数来替代π(x)函数，以简化对自然数列中素数的个数之计算。Lix(x)函数与π(x)函数有什么样的关系？高斯先生没有证明，素数定理就是为了证明Lix(x)函数与π(x)函数之间所存在的关系而存在。

　　那么，Lix(x)函数究竟是什么样的函数，可以用来替代π(x)函数？言之莫失所望，其仅仅是对数函数的积分而已。数论学家从一开始就已经知道，Lix(x)函数并不是π(x)函数，只是在数据的统计上有相近之处。但相近并不等于吻合，所以从严格意义上而言，Lix(x)函数是根本不能用来替代π(x)函数的。为了解决此一矛盾，也就产生了所谓的素数定理的证明。

　　用复数形式证明素数定理，于十九世纪已获得解决，但其是建筑在尚未获证的黎曼(Riemann)假设之基础上的。因此，用初等方法来证明，也就成了二十世纪数论学家的使命。所谓初等，其实并不简单，必须用高等数学的方法套解出来，最终的结果是在Lix(x)函数的基础上，加上一个等价函数。随时修正等价函数上的数据，使之符合所考察的对象之情况，也就成了应用素数定理的典范。

　　目前的数论，完全抛弃了继续对π(x)函数的研究，一味地迷信着素数定理，如此而为，无疑是对素数问题继续向纵深发展的最大障碍。人类认识世界的经验告诉我们，研究任何问题，若不是从内因着手，而是从其它不相关的领域中去研究，则是寻找不出规律性的东西的。对数函数仅仅是指数函数的反函数，内无任何素数出现的规律；若用素数定理中的方法去计算自然数列中素数的个数之近似值，也许不失为一项明智的权宜之方法；但将素数定理当作规律待之，则是对素数问题之研究的极不负责任的举措。但是，数论学家寄予素数定理的希望，不仅仅是对自然数列中素数的个数之计算，而且还将其应用于所有有关素数问题的研究中，在等价函数中引入各种各样的函数，企图以此来计算素数问题。

　　我们知道，π(x)函数是根据埃拉托色尼筛法而建立起来的函数，内含自然数列中素数出现的规律：以不大于√x的素数为筛子，逐个筛掉这些筛子的倍数，根据“每一个不大于x的合数，都有一个不大于√x的素约数”之定理，即可获得大于√x至x区间中的素数。埃拉托色尼筛法是对自然数列中一定区域内求素数的实际操作，而π(x)函数则是对自然数列中一定区域内求素数的个数之计算操作，这些规律性的东西是无可置疑的。

　　在高斯先生所处的年代，由于集合论尚未问世，人们并不知道基数的概念。对π(x)函数的计算必须在无穷无尽的取整之情况下进行，高斯先生以Lix(x)函数来替代π(x)函数，无疑是一项明智的举措。但是，当集合论已将基数的概念阐述了百年之余的今天，仍旧排斥对π(x)函数继续深入研究，显然是数论对数学的极不负责任之表现。

　　用基数的概念对π(x)函数进行计算，当x→∞时，任何必须取整的地方都已与自然数集N一样，具有无穷多个元素，而且都是具有可数集的基数。因此，再言取整，则无疑是无知的表现。所以，当x→∞时，只能是以出现概率来替代取整而进行计算。例如，2的倍数占自然数列的1/2，3的倍数占自然数列的1/3，6的倍数占自然数列的1/6，...等等。

　　将出现概率替代π(x)函数中的取整之步骤，则对π(x)函数的计算就变成十分简便，毋须太复杂的推算，就可知道，自然数列中素数的出现概率之极限趋向于无穷乘积∏(1-1/p)。

　　在自然数集N中，2的倍数占有的出现概率为1/2，3的倍数占有的出现概率为1/3，...等等。但它们彼此间有交集，必须用商集合的概念进行分割。根据逐步淘汰原则，则有：

　　π(2)=1/2，

　　π(3)=1/3(1-1/2)，π(5)=1/5(1-1/2)(1-1/3)，π(7)=1/7(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)，......。

　　上述之叙中，等式左边的符号π表示分割，括号内的数字表示以该素数为标识，π(p)表示以括号内的标识p为依据，归纳自然数集N中以最小素约数p为分割条件的集合；等式右边为诸商集化子集合π(p)在自然数列中的出现概率。

　　一般而言，对于自然数列中第n位素数p_n，则有：

　　π(p_n)=1/(p_n){n-1∏i=1}(1-1/{p_i})由于以商集合的概念将自然数集N的元素进行分割，诸π(p_n)中的元素与其它商集化集合π(p_i)中的元素是互不相交的，故而根据概率论的加法原理，将诸商集化集合的出现概率相加，就是所有被归纳的元素之出现概率。因此，诸被归纳的元素之出现概率有表达式：

　　∑π(p_n)=∑1/(p_n){n-1∏i=1}(1-1/{p_i})当n→∞时，有

　　{∞∑n=1}π(p_n)={∞∑n=1}1/(p_n){n-1∏i=1}(1-1/{p_i})用1减之，有

　　1-{∞∑n=1}π(p_n)=∏(1-1/p)可知，无穷乘积∏(1-1/p)乃是在自然数列中，与无穷多个素数互素的元素之表达式而已，其具有循序渐进的特性。

　　对于无穷乘积∏(1-1/p)，既然谓之无穷，则其就不可能有固定之值，但数论却要问其在实数集中的值为几何？若果真有此要求之必须，也可以从无穷乘积∏(1-1/p)本身求起，展开乘积，有∏(1-1/p)=(1/2)*(2/3)*(4/5)*(6/7)*(10/11)*...

　　在相邻的两个因式中，后一因式的分子总是大于前一因式的分母：

　　{P_n}-1＞P_{n-1}。

　　对乘积进行约分，且保留所谓的最后的一个分母，可以有∏(1-1/p)＞lim(1/{p_n})→0即有无穷乘积∏(1-1/p)＞0之值。

　　也许这样的计算太显简单，数论为了标新立异，却要固定无穷乘积∏(1-1/p)循序渐进的性质，让无穷乘积∏(1-1/p)中的p穷尽了所有的素数，然后再将这被固定了的数的倒数用于指数函数的指数上。若真的能根据指数函数的性质进行计算：N=2^t,t=2([1/a]+1)，其中a为被固定了的无穷乘积∏(1-1/p)之值，则从极限论中无穷大量的比较中也可获知2^∞＞∞，且能得出N＞t＞1/a之结论。但数论却反其道而为之，让1/a＞2^t(其设N是有限之值，却设1/a之值为无穷大)，从而得出了无穷乘积∏(1-1/p)=0之结论。数论关于无穷乘积∏(1-1/p)=0之谬误是十分明显的，对此若有兴趣，可参阅鄙人的拙文《为欧拉函数ψ(n)鸣不平》。

　　对自然数列中的素数之个数的研究，π(x)函数是否符合数学的公理？从自然数的有序而列中可知，自然数列之符合外延公理及正则公理是毋庸置疑的。因为自然数集N中的元素具有：①传递性。②三岐性。③对于每一自然数n，只要它不为零，它就一定是一后继数。④良基性。而埃拉托色尼筛法之根据否定之否定法则来求解：p=x-H ，则π(x)函数的完备性条件是充分的。所以，用选择公理对自然数列中的元素进行选择，是完全符合数学公理所必须的一切条件之操作。

　　以最小素约数为选择条件，归纳自然数列中的元素，则其良序化之链，可以用诸素数的序列表之，我们用诸素数的序列为标识，有：

　　2＜3＜5＜7＜11＜13＜17＜19＜23＜...。

　　不等式中的诸素数的倒数就是按条件所归纳的诸集合在自然数列中的出现概率：

　　1/2＞1/3＞1/5＞1/7＞1/11＞1/13＞1/17＞...。

　　用商集合的概念将所取的诸集合分割(罗素形式的选择公理)，使之每一自然数元素属于且仅属于某一不空的商集化子集。根据“每一不大于x的合数都有一个不大于√x的素约数”之定理，可知商集化的子集中存在着只具一个自然数(大于√x的素数)为元素的集合，故而在自然数集的良序化之链中，存在着最小元素。按良序化之链的定义，可知自然数列的良序化之链中断于有限处。

　　仅仅有罗素形式的选择公理，显然，其只是叙述了埃拉托色尼筛法而已。与罗素形式的选择公理等价的还有蔡梅罗函数形式的选择公理，π(x)函数就是蔡梅罗形式的选择公理。对π(x)函数进行计算，当x→∞时，无穷乘积∏(1-1/p)就是反映了自然数集的良序化之链中那些属于最小元素部份的出现概率。

　　我们知道，欧拉函数ψ(x)=x∏(1-1/p)p|x ，在x为有限值时，由于其精确的计算被普遍接受了，缘何当x为无穷大时，却犹似垃圾一般被丢掉？虽然在素数定理中也大谈什么等价函数，但素数定理中的等价函数是一一对应的吗？其只是模糊的数值上的计算而已。用素数定理替代π(x)函数，无疑是抛弃了规律，拣起了垃圾。

　　二：加法关系a+b中的素数分布问题

　　所谓加法关系a+b中的素数分布问题，是指，任意充分大的正整数M表为两个正整数之和时，其表为两个奇素数之和的个数问题。由于当x→∞时，加法关系只能赋予∞+∞=2∞之极限。所以，研究加法关系a+b中的素数分布问题，只能在区间(0,2∞)之间进行。则有：

　　2∞=1+(2∞-1)=2+(2∞-2)=...=∞+∞显然，在加法关系a+b中，当a→∞时，则b只能以超越自然数的∞+1、∞+2、...、∞+n、...等共尾序数的形式表之。所以，在加法关系a+b中，其基数已超出了自然数集N的基数。归纳给定了的M之加法关系a+b中的元素为集合G，与自然数集N一样，集合G中的元素，具有①传递性。②三岐性。③对于每一元素a+b，只要它位于区间(1,∞)之内，它就一定是一后继数。④良基性。所以，加法关系a+b是符合外延公理及正则公理，因为在无穷集合G的元素中的b之值，本来就是自然数的延伸而已。

　　对无穷集合G进行良序化，应用埃拉托色尼筛法显然是不行的。因为埃拉托色尼筛法只是针对自然数列而为，其p=x-H只适用于所考察的元素只具一个自然数之性质。在自然数列中，筛掉任何一个自然数，并不会影响其它自然数的存在。但是，在加法关系a+b中则不然，因为集合G中的元素是由两个自然数之和所组成，筛掉任何一个自然数，势必会影响另一个自然数的存在与否。由量变到质变，在自然数列中所得到的规律并不适宜应用于加法关系a+b中。

　　考察加法关系a+b中两个正整数之和的有关素数或合数的性质，有：素数加素数、素数加合数、合数加合数这三大类情况(此处将与1相加之情况排除在外)。所以，在集合G中，根据完备性原则，有：

　　素数加素数=G-素数加合数-合数加合数用符号表之，有

　　p(1,1)=G-{(p,H)+H(1,1)}此式即是集合论中著名的摩根定律：A~∩B~=(A∪B)~应用于加法关系a+b中的素数分布问题的求解方法。

　　因为在加法关系a+b中，设M为所取之值，则集合G中有元素M=1+(M-1)=2+(M-2)=...=M/2+M/2共有M/2个。将摩根定律应用于加法关系a+b中：设在区间(1,M/2]中，凡具有合数性质的元素a+b被归纳为集合A；再设在区间[M/2,M)中，凡具有合数性质的a+b被归纳为集合B；则有A∪B=(p,H)+H(1,1)以及

　　(A∪B)~=G-(p,H)-H(1,1)而集合A的补集A~为区间(1,M/2]中，凡具有素数性质的元素之集合；集合B的补集B~为区间[M/2,M)中，凡具有素数性质的元素之集合。所以，有A~∩B~=p(1,1)

　　综合以上所述，有

　　A~∩B~=p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)=(A∪B)~摩根定律所讲述的就是区域内具有两个以上集合时的完备性问题，对于加法关系a+b而言，由于元素只是两个自然数之和，所以并不需要拓展摩根定律，用最简单的形式：A~∩B~=(A∪B)~，就可以了。

　　既然是加法关系，也就必须应用加法环中的公式。当设定M为所取之值时，根据唯一分解定理：

　　M=(p_i)^α*(p_j)^β*...*(p_k)^γ有

　　M=np=(n-m)p+mp 从此公式中可知，凡是具有M的素约数的合数，总是与另一具有M的素约数的合数相加于同一元素之中。由唯一分解定理所确定的a+b，我们将其谓之为特征值。由于p的倍数总是在同一元素中相加，所以，每隔p之值，就会出现一个p的倍数相加之元素。故在M=a+b中，特征值p的倍数有出现概率1/p，则与之互素的元素有出现概率为(1-1/p)。

　　另外，根据剩余类环

　　M=nq+r=(n-m)q+mq+r之公式中可知，凡不是M的素约数的素数q的倍数，总是不能与具有素约数q的合数相加在同一元素之中，r是它们相差之位。为区别于特征值，我们根据其由剩余类环而求得的，将其谓之为剩余值。由于r＜q，所以，每隔q之值，会出现两个具有素约数q的元素，一个在a中，一个在b中。故在M=a+b中，剩余值q的倍数有出现概率2/q，则与之互素的元素有出现概率为(1-2/q)。

　　对于与特征值p互素的系数(1-1/p)，由欧拉函数ψ(N)中可知，特征值p中的系数是可积函数：M/2{∏p|M}(1-1/p)。那么，对于剩余值q的系数是否也是可积函数?由于与剩余值互素的系数(1-2/q)，以前并无人涉及，是鄙人之首创，故必须对其是否为可积函数的性质作些论证。

　　设N=nq+r=(n-m)q+mq+r，化mq+r成为p的倍数，即mq+r=kp，可知,“q不能整除kp，那么，(q-1)个数：p、2p、...、(q-1)p分别同余1到q-1，并且对模q互不同余：{k_1}p≠{k_2}p(mod q)”(费马小定理)。由于k＜q，因此，在M=a+b中与q的倍数相加于同一元素中的p之倍数，起始于M=(n-m)q+kp，不断地加减pq，则有M=(n-m-ip)q+(k+iq)p；1≤i≤M/pq乃是每隔pq之数值而出现一次。

　　因此，在M=a+b中，q的倍数与p互素不仅须对(n-m)q自身中具p之素因数的元素进行筛除，而且还须对与之构成元素对mq+r=kp的合数中具p之素因数的合数进行筛除。因此在M=a+b中，由q之倍数而构成的元素a+b中，与p互素的个数是M/q(1-2/p)。

　　在M=a+b中，如果p⊥M，q⊥M (其中，符号⊥表示不整除)，则与p,q互素的元素a+b分别有：M/2(1-2/p)，M/2(1-2/q)，而与p，q互素的元素a+b在总体上有：

　　M/2(1-2/p)-M/q(1-2/p)=(M/2-M/q)(1-2/p)=M/2(1-2/p)(1-2/q)可知，在M=a+b中，对于剩余值的系数也是可积函数。换言之，在M=a+b中，与不大于√M的素数互素的系数，用逐步淘汰原则进行计算，不管是特征值抑或是剩余值，均是可积函数。

　　通过分析，获知在M=a+b中，无论是特征值或非特征值，都是可积函数。因此在M=a+b中，与小于√M的素数互素的个数有：

　　P(1,1)=M/2{∏p|M}(1-1/p){∏p⊥M}(1-2/p)此公式就是加法关系a+b中的一般之解。从公式的系数中可以清晰地看到摩根定律所起的作用：用不大于√M的素数作筛子，对于是M的素约数的素数之倍数，筛除的系数是(1-1/p);对于非M的素约数的素数之倍数，筛除的系数是(1-2/p)。

　　当M为奇数时，由于素数2不是特征值，从剩余值的系数中可知，因存在着零因子：(1-2/2)=0，所以当M为奇数时表为两个奇素数之和的个数为零。

　　由此可知，在加法关系a+b中，欲求p(1,1)的个数，M之值必须是偶数，即素数2必须是特征值，才能获得p(1,1)之个数。从(1-1/p)＞(1-2/p)中可知，若存在其它不大于√M的素数为特征值时，则系数不可能是最小的。因此，只有当M=2^n时，才会有最小值的系数，而且p(1,1)=M/4∏(1-2/p)=M/4∏({p-2}/p)，p＞2(1)只有当乘积是无穷时，系数才会达到最小之值。

　　根据自然数列中素数之值依位序列而言，由于合数的存在，相邻的两个素数之值的差有大于2的，至少是不小于2，因此有(p_n)-2≥(p_{n-1})，(2)将不等式(2)的结论代入到(1)式中，用后一因式的分子与前一因式的分母相约，并保留所谓的最后因式的分母，我们可以获得p(1,1)≥M/4(1/p)≥M/4(1/√M)=√M/4，当M→∞时，有√M/4→∞。换言之，在大偶数表为两个奇素数之和中，其个数不会少于√M/4个。所以，设M为偶数时，就是欲称哥德巴赫猜想，当a→∞时，哥德巴赫猜想是为真。

　　由于所求的一般之解是设M为无穷大时求得的，因此，当M为有限值时，会产生一定值的误差。纵然如此，系数也是能很好地反映出大偶数表为两个奇素数之和的规律。因为从系数上分析：对于具相同特征值的M，M越大，p(1,1)的个数越多：p(1,1)≥Lim(√N/4)→∞。

　　对于不同特征值的N，特征值越小，p(1,1)的个数越多：若p＜q ,则(1-1/p)(1-2/q)＞(1-1/q)(1-2/p)。

　　特征值越多，p(1,1)的个数也越多：

　　(1-1/p)＞(1-2/p)。

　　当然，这三个因素必须有机地结合起来，才能如实地反映p(1,1)的个数。

　　关于H(1,1)中具有相同的出现概率却互不相交的剩余类值的诸子集，有：

　　φ,H(f,e),H(g,e),...,H(α,e),H(β,e),H(γ,e),...

　　H(e,f),φ,H(g,f),...,H(α,f),H(β,f),H(γ,f),...

　　H(e,g),H(f,g),φ,...,H(α,g),H(β,g),H(γ,G),...

　　......

　　H(e,α),H(f,α),H(g,α),...,φ,H(β,α),H(γ,α),...

　　H(e,β),H(f,β),H(g,β),...,H(α,β),φ,H(γ,β),...

　　H(e,γ),H(f,γ),H(g,γ),...,H(α,γ),H(β,γ),φ,...

　　其中e＜f＜g＜...＜α＜β＜γ∈W≤√N。我们对以上诸子集进行商集化分割，不失一般性，设有子集H(β,α)，由于H(α,x)∩H(x,α)=φ，显然有H(α,e)∩H(β,α)=φ，H(α,f)∩H(β,α)=φ，H(α,g)∩H(β,α)=φ，...，H(α,β)∩H(β,α)=φH(e,β)∩H(β,α)=φ，H(f,β)∩H(β,α)=φ，H(g,β)∩H(β,α)=φ，...，H(α,β)∩H(β,α)=φ除处以外，其它的诸子集与H(β,α)显然有交集：

　　H(f,e)∩H(β,α)=H(fβ,eα)，H(g,e)∩H(β,α)=H(gβ,eα),...，H(β,e)∩H(β,α)=H(β,eα)...等。但是对于诸非同模类的子集之交，我们有：

　　H(fβ,eα)∈H(β,eα)，H(gβ,eα)∈H(β,eα)，...由子集的包含性，可知此类子集之交已被同模类的子集之交所包涵，因此可以直接删掉。(因找不到包含符号，故用属于∈代之)。

　　于是，在分割子集H(β,α)的元素时，可以按子集H(β,α)所在行列的方向上与诸同模的子集进行商集化的分割。

　　从行的方向而言，有诸子集H(e,α)，H(f,α)，H(g,α)，...等与其有交集：

　　H(e,α)∩H(β,α)=H(eβ,α)，H(f,α)∩H(β,α)=H(fβ,α)，H(g,α)∩H(β,α)=H(gβ,α)，...。

　　从列的方向而言，有诸子集H(β,e)，H(β,f)，H(β,g)，...等与其有交集：

　　H(β,e)∩H(β,α)=H(β,eα)，H(β,f)∩H(β,α)=H(β,fα)，H(β,g)∩H(β,α)=H(β,gα)，...。

　　但由于在行与列两方向上存在有不相交的子集：

　　H(e,α)∩H(β,e)=φ，H(f,α)∩H(β,f)=φ，H(g,α)∩H(β,g)=φ，...。因而在与H(β,α)的交集中产生了不相交的平行子集：

　　H(eβ,α)∩H(β,eα)=φ，H(fβ,α)∩H(β,fα)=φ，H(gβ,α)∩H(β,gα)=φ，...。所谓不相交的平行子集乃指诸互不相交的子集在出现概率的数值上是相同的。

　　但是对于诸非平行的子集，显然有：

　　H(eβ,α)∩H(fβ,α)=H(efβ,α)，H(β,eα)∩H(fβ,α)=H(fβ,eα)，H(eβ,α)∩H(β,fα)=H(eβ,fα)，H(β,eα)∩H(β,fα)=H(β,efα)...等交集。从而又产生了诸互不相交的平行子集：

　　H(efβ,α)∩H(fβ,eα)=φ，H(efβ,α)∩H(eβ,fα)=φ，...。

　　根据行与列两方向上所存在的不相交子集的几何性质，可知对于诸不相交的平行子集的数目，按几何等级2^n构成。

　　综上所述，在对子集H(β,α)作商集化分割时，由于存在有互不相交的平行子集，显然现行的逐步淘汰原则已不再适用于计算这样的商集化子集(否则将十分繁琐)，必须寻找新的方法。

　　由于诸互不相交的平行子集在出现概率的数值上是相同的，因此我们可以将诸互不相交的平行子集以同一符号表之，而在其旁配以系数表示诸互不相交的平行子集的数目。因诸互不相交的平行子集属于且仅属于某一商集化子集，所以系数对于该子集中的元素并不产生影响，而逐步淘汰原则恰能作用于该元素上。如此而为，可保持逐步淘汰原则的一般形式。于是，对于位于对角线右上方的诸商集化子集可以有类似于逐步淘汰原则的计算方法:

　　H(f,e),H(g,e)-H(fg,e),H(h,e)-H(fh,e)-H(gh,e)+H(fgh,e),...。

　　－－－－H(g,f)-2H(eg,f),H(h,f)-2H(eh,f)-H(gh,f)+2H(egh,f),...。

　　－－－－－－－－－－－－H(h,g)-2H(eh,g)-2H(fh,g)+4H(efh,g),...。

　　－－－－－－－－－－－－－......

　　以上诸字母e，f，g，...等皆代表为不大于√N且非M的素约数的素数。

　　设p_1＜p_2＜...＜p_t∈W≤√N，且位于对角线右上方的第n行第m列的子集是H(p_m,p_n)，且有n＜m。从行的方向而言，有m-2个子集与其有交集，从列的方向而言，有n-1个子集与其有交集。由于n＜m，可知n-1≤m-2，因而所产生的诸不相交的平行子集的个数最多为2^(n-1)个。

　　从类似逐步淘汰原则的表中寻找出第n行第m列方法中进行商集化分割，可以有如下的计算方法：

　　π{H(p_m,p_n)}/(N/2)=(1/{p_n}{p_m}){1-({n-1∑i=1}(2/p_i)+{m-1∑i=n+1}(1/p_i))+({∑1≤i＜j＜n}(4/{p_i}{p_j})+{∑1≤i＜n,n＜j≤m-1}(2/{p_i}{p_j})+{∑n＜i＜j≤m-1}(1/{p_i}{p_j}))-...+(-1)^{m-2}(2^{n-1}/{p_1}{p_2}...{p_(n-1)}{p_(n+1)}...{p_(m-1)})}=(1/{p_n}{p_m})(1-2/p_1)(1-2/p_2)...(1-2/p_{n-1})(1-1/p_{n+1})...(1-1/p_{m-1})=(1/{p_n}{p_m}){n-1∏i=1}(1-2/p_i){m-1∏i=n+1}(1-1/p_i).

　　由于H(p_m,p_n)与H(p_n,p_m)的元素之个数上是相同的，且商集化的对象在数值上也是相同的，显然，位于对角线右上方的诸商集化子集的出现概率之总和等于位于对角线左下方的诸商集化子集的出现概率之总和。因此，我们只要对n＜m时的诸商集化子集求出现概率，将求得的总和之值乘以2就可。

　　显然，集合中的元素由几个自然数所构成，不同的数量有不同的筛选法，不能等同视之。π(x)函数筛选的是自然数列，并不能用于加法关系a+b中的筛选。

　　用摩根定律来解加法关系a+b中的素数分布问题，本是一项十分简单的事，与埃拉托色尼筛法一样，只要应用否定之否定法则，就可求之。诚然，与埃拉托色尼筛法相比，加法关系a+b中的素数分布问题，难度确比自然数列中求素数的个数难了一些。但只要懂得由量变到质变，按照规律办事，所谓的难度也就迎刃而解了。因为无论是自然数列中素数分布问题，抑或加法关系a+b中的素数分布问题，都是有序集合中的问题，而有序集合的规律性为之提供了必要且充分的方法来求解。只要我们充分注意到所求集合的完备性，解题的方法即呈面前。

　　根据加法关系a+b的有序集合，从有关的加法的公式：x=np=(n-m)p+mp和x=np+r=(n-m)p+mp+r中进行分析，可以很简便地写出加法关系a+b的良序化之链。但由于获得的一般之解中，包含了无穷多个特殊之解，所以，只能列举少许的特殊之解来阐述。

　　当M取值为奇数时，由于存在着零因子，所以无论其特征值是什么？在良序化之链中，总有：2=2＜...之标识。以最小素约数来归纳，所有的自然数都被这两个不相交的商集化集合所归纳，故而有p(1,1)=0。

　　设M=2^n，此时只有唯一的素数2为特征值，所以，其良序化之链的标识是：

　　2＜3=3＜5=5＜7=7＜11=11＜13=13＜...

　　为偏序的，其p(1,1)的出现概率是p(1,1)/(M/2)=1/2∏(1-2/p)，p＞2。

　　综上所述，可知，所谓的大偶数表为两个奇素数之和的个数，仅仅是用选择公理来归纳按最小素约数为条件的加法关系a+b中的不可归纳的最小元素而已。

　　但是，目前的数论，并不是按照规律性的东西来办事，相反，欲以某些莫须有的东西来混淆。以陈氏定理为例，陈景润先生在其论文的开头言道：

　　【命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数：

　　x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)其中p_1,p_2,p_3都是素数。

　　用x表一充分大的偶数。

　　命Cx={∏p|x,p>2}(p-1)/(p-2){∏p>2}(1-1/(p-1)^2)对于任意给定的偶数h及充分大的x，用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数：

　　p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3)，其中p_1,p_2,p_3都是素数。

　　本文的目的在于证明并改进作者在文献〔10〕内所提及的全部结果，现在详述如下。】显然，x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)是其研究哥德巴赫猜想时的前提。而Cx的表达式，只是说明其所用的方法乃是解析数论的方法，以通常研究哥德巴赫猜想时的工具而为之。

　　简短的开场白若不细加分析，很难发现有什么谬误而被疏忽。然而，正是这样的疏忽，导致陈氏定理可以从莫须有的情况下发挥出称誉数学界的一条定理。让我们细析陈氏定理的前提x-p，将适合该条件的自然数作一番考察(注意并非是对适合该条件的素数p进行考察，适合条件的素数p的考察是陈景润先生在进行)。

　　用x表一充分大的偶数，且将自然数列中的素数p按序列出为：

　　p=2,3,5,7,11,13,17,19,23,...。

　　则x-p之数列为：

　　x-p=x-2,x-3,x-5,x-7,x-11,x-13,x-17,x-19,x-23,...。

　　若以给定的偶数h来叙述，设h=50，则h-p的数列为：

　　50-p=48,47,45,43,39,37,33,31,27,...。

　　设h=52，则h-p的数列为：

　　52-p=50,49,47,45,41,39,35,33,29,...。

　　设h=54，则h-p的数列为：

　　54-p=52,51,49,47,43,41,37,35,31,...。

　　...等等。

　　对x-p抑或h-p之自然数进行考察，已十分明确地告诉了我们，所考察的自然数呈现的并非是等差的数列，而且所考察的自然数随偶数之值的不同而不同(即在此所谓的数列中出现的自然数而在彼数列中并不一定会出现)。换言之，在x-p的自然数之排列中，无法确定究竟会出现什么样的自然数，故而x-p是一些没有一定规则的自然数之堆积。在这不确定的自然数之堆积中，连究竟会出现什么样的自然数都无法知道，那么，怎样来确定该自然数是素数抑或是合数呢？显然，陈景润先生所设定的：“命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)”乃是无的放矢，仅凭想象而作的假设，根本就不曾进行过实践的考察。

　　从对x-p的不规则的自然数的堆积中进行考察后得知，该堆积并非是等差的数列。但在数论中，所谓的研究哥德巴赫猜想的工具，却是一个专门研究等差数列的。用学术权威自己的话来说：

　　【对等差数列中素数分布的研究是一个十分困难但又非常重要的问题，它是研究哥德巴赫猜测的基本工具。若我们用π(x;k,l)表示在等差数列l+kn中不超过x的素数个数，则已证明了下面的定理：

　　定理3.3若k≤log^20x，则有π(x;k,l)={Lix/ψ(x)}+o{xe^(-c(logx^1/2)).(3.53)这里ψ(k)为欧拉函数，c为一正常数。

　　定理3.3是解析数论中一个重要的定理，它是经过了许多数学家的努力才得到的，是我们研究哥德巴赫猜测的基本定理。由于定理的证明要用到极为深刻的解析方法，我们在这里就不再给出它们的证明了。

　　注：这儿的条件k≤log^20x，仅是为了叙述方便，事实上当k≤log^A x时定理亦成立，其中A为一任意固定的正常数。】见潘承洞教授著《素数分布与哥德巴赫猜想》第65页。

　　由此可知，陈氏定理中的Cx所采用的解析数论，只是对等差数列可以发挥作用，而对x-p此类非等差的不确定之数堆毫无用处(任何方法对于x-p此类的不定数堆都是无用的)。陈景润先生在谬误的前提下所研究出来的定理，能是正确的吗？

　　只要稍具逻辑思惟的人都知道，将一些风马牛不相及的东西拼凑在一起，并不能找出规律性的东西的。但目前数论的作为，恰恰是连最起码的逻辑也不讲。

　　三：哥德尔

　　哥德巴先生无疑是一个伟大的数学家，在此以“哥德尔”为小标题，并非是为了反对哥德尔先生的不确定性原理；恰恰相反，却是为了继续发扬哥德尔的完备性条件，使之更具可操作性。就哥德尔先生的不确定性原理而言，无疑其本身是十分正确的。然而，具体落着于每一实践的数学问题上，却是相对的。我们知道，哥德尔先生在不确定性原理的阐述中，曾对连续统假设的问题作了深入的研究，并说，如果ZFC系统协调的话，则ZFC推不出CH。

　　所谓的ZFC，即是数学分支中的公理集合论的一系统，其与系统ZF的区别在于ZFC包括了选择公理，而在ZF系统中没有选择公理。

　　所谓的CH，即是指连续统假设。设自然数集N的基数为ω_0，而实数集R的基数为2^(ω_0)，且基数之大小有序列：

　　ω_0,ω_1,ω_2,...,ω_i,...

　　等，所谓的CH问题就是指2^(ω_0)=ω_1。

　　诚然，哥德尔先生在其完备性问题上的见解是正确的，如果对一个问题的解决超出其所规定的标准范围，无论如何也不可能将该问题解决，此乃数学中不确定性原理的起因。而且哥德尔先生在CH问题上的见解也是可以理解的，因为就目前而言，对基数的理解，完全是建筑在自然数集N的基础上的。

　　对于基数的考察，如果以自然数1,2,3,4,...等去数，数来数去，也只能数出可数的与不可数的两种，第三种的基数根本就数不出来。因为对于那些大于自然数集N基数的不可数集的基数，用自然数集N去衡量，是不敷使用的。尽管自集合论创世至今，已将集合的问题研究得很深入，并有很多精辟的论点。但目前对无穷集合之基数的研究，仍旧沿用着集合论创世人康托尔先生最初的方法，而没有更新过。

　　当哥德尔先生以其八个基本运算论述CH问题时，十分清楚地指出了:如果在值域ran(R)中所需要求解的元素，并非都是定义域dom(R)中的元素，则从定义域dom(R)中是无法求得其解的。但连续统假设的问题，恰恰是在值域ran(R)不透明的情况下进行研究的。由于从定义域x到值域p(x)有许多不透明的地方，使得连续统问题成为一个难度很大的问题。所以哥德尔先生认为，如果ZFC是协调的，则从ZFC中推不出CH。

　　但是，造成值域CH不透明的缘故并非是ZFC系统，而是用以测量基数的方法。俗话说：没有规矩，不成方圆。在对基数问题的研究上，同样存在这样的情况。以什么样的测度去考察基数，只能得到该测度标准所允许范围内的结果。显然，用自然数集N为测度，所得到的结果只能是可数的与不可数的两种。因为自然数集N是所有无穷集合中基数最小的一个，不可能将比其基数大的无穷集合的内容一一揭示出来。如果我们能换一个比自然数集N大的实数集R为测度，去考察无穷集合的基数，所得的结果就会与以自然数集N为测度时的情况截然不同。

　　我们知道，实数集R的基数是2^(ω_0)，其元素是与自然数集N的幂集合一一对应的，而且是目前所知道的两个基数中大于自然数集N的无穷集合。当人们正在孜孜不倦地欲在不透明的情况下企图证明2^(ω_0)=ω_1时，缘何不能以实数集R为测度，去考察一下别的无穷集合之基数呢？须知，对实数集R的情况之了解并不比自然数集N少，大多数函数都是在应用实数集R为测度的。而且，我们还已经知道了自然数集N和实数集R这两个集合的基数之间的联系。以实数集R为测度，就可以使处于ω_0与2^(ω_0)之间的基数呈现，而且在ZFC系统中也是协调的。

　　因为就实数集R而言，若用自然数集N的幂集合来表之，则其中的子集合，与自然数集N的子集合相比，根本就不是一个数量级的。在以自然数集N为测度时不能呈现的情况，于实数集R为测度时则并非不可呈现，只要所考察的无穷集合的子集是被实数集R的子集所包含。若用哥德尔的八个基本运算去做，得到的结果就是CH在ZFC中是可以协调的，即有2^(ω_0)≠ω_1。

　　例如，在加法关系a+b中，当a→∞时，显然有：

　　2∞=1+(∞-1)=2+(∞-2)=...=∞/2+∞/2归纳上述的元素且以G表之。显然，集合G是一无穷集合，而且用自然数集N中的元素是无法将无穷集合G表达完毕的，只能以共尾序数∞+1、∞+2、...等表之。所以，若用自然数集N为测度，是无法将该集合分辨清楚的；然而，若改用实数集R为测度，则就完全可以将其透明，从而获得加法关系a+b中素数分布的一般之解。因为无穷集合G中的所有子集，均被实数集R所包含。

　　前面已经讲过，所谓的无穷集合G，就是通常所说的哥德巴赫猜想，其是欲在集合G中，求存在着两个奇素数之和p(1,1)。而在无穷集合G中的p(1,1)的一般之解为：

　　p(1,1)/(N/2)={∏p|N}(1-1/p){∏p⊥N}(1-2/p)该系数是以实数集R为测度求得的，而且完全是在ZFC系统中可以求得的。

　　在解哥德巴赫猜想时，鄙人只是将摩根定律A~∩B~=(A∪B)~应用在N=a+b中，并根据加法关系a+b的公式：

　　N=np=(n-m)p+mp和N=np+r=(n-m)p+mp+r对N=a+b进行分析，用选择公理归纳集合的子集。完成这些步骤后，也就获得了哥德巴赫猜想的一般之解，这些步骤，无疑是简单得不能再简单了，完全与埃拉托色尼筛法相似，接下来的任务就是连小学生都会计算的四则运算。

　　解哥德巴赫猜想时遵照的是ZFC系统所规定的选择公理，并求出无穷集合G的基数是介于自然数集N与实数集R之间。所以，如果ZFC是协调的，则是完全可以证明CH。因为仅哥德巴赫猜想一例中，就存在着无穷多个基数介于自然数集N与实数集R之间的集合，故而，对于连继续假设，答案是否定的。

　　以前对无穷集合基数的考察，都是基于自然数集N去衡量，所以存在着不确定性的因素。但只要改用实数集R为考察的测度，一般而言，大多数的无穷集合的基数，都是可以获得解决的。但对于哥德尔先生的不确定性因素，一些数论学家不是寻求如何使值域明朗起来，相反，却是将本来简单的问题搞得复杂化，继续在模糊的概念上下功夫。

　　四：集合的基数

　　提要：如果存在一系列的基数，按序可列为：ω_0、ω_1、ω_2、ω_3、...等。自然数集N的基数是其中最小的ω_0，则自然数集N的幂集合2^N的基数2^ω，即实数集R的基数是此序列中最大的。

　　1900年，著名数学家希尔伯脱在巴黎数学大会上的著名演讲《数学问题》中列举了二十三个未解决的数学问题，其中第一个就是:

　　“2^ω等于ω_1吗”。

　　换言之，如果有2^ω=ω_1，则说明紧挨着可数集基数ω_0的是实数集R的基数，在ω_0与ω_1之间就没有其它的基数了。这就是所谓的连续统假设。

　　既然有了连续统假设，就必须对自然数集N及其幂集合2^N进行考察。所谓自然数集N的幂集合2^N，是指由自然数集N的所有子集而构成的集合。例如，集合{1,2,3}就有：

　　{φ},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}这样8个子集合。一般而言，如果集合有n个元素，则其幂集合恰有2^n个子集合。因此，自然数集N的幂集合有子集合2^N个。自然数集N的基数是ω_0，故自然数集N的幂集合的基数书之2^ω。

　　从集合论中知道，自然数集N的幂集合之基数2^ω等价于实数集R的基数。因此，2^N个子集合与实数轴[0,1]上的点可一一对应。然而，等势的两个集合是双射的，因此，2^N个子集合势必可以反映出实数轴[0,1]上所有的点之数值。又知，实数轴[0,1]上的点可以表示为概率之数值，则自然数集N的幂集合2^N的子集合也同样可以反映出概率之数值。利用选择公理，我们可以很容易地将概率映射到自然数集N的幂集合2^N中。

　　设自然数集N的幂集合2^N有子集合：

　　{φ},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},...

　　等。用商集合的概念对自然数集N的幂集合进行分割，使之每一元素(子集合)属于且仅属于某一非空子集，则可得到彼此互不相交的商集化子集。在幂集合2^N个集合中，商集化子集的元素可按自然数来分割成互不相交的集合，由诸π(n)中最小的元素(标识)组成的集合是：

　　{1},{2},{3},{4},...,{n}...

　　乃自然数集N也。且每一商集化子集π(n)都具有无穷多个元素。例如，π(1)有元素：{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},...

　　...等。π(2)有元素：

　　{2},{2,3},{2,4},{2,3,4},...

　　等。计算每一商集化子集π(n)在集合2^N中的比例，我们有：π(1)=1/2,π(2)=1/4,π(3)=1/8,π(4)=1/16,...。一般而言，对于商集化子集π(n)可以有π(n)=1/{2^n}。将诸商集化子集π(n)的出现概率相加，有：{∞∑n=1}π(n)=1/2+(1/{2^2})+(1/{2^3})+...+(1/{2^n})+...=1。

　　即在幂集合2^N中，每一子集合对应着实数轴[0,1]中每一点，其表现形式可以是概率。

　　有概率作为测度，我们就可以将自然数集N的幂集合2^N与其它的无穷乘积作比较。条件是:必须将被测的无穷集合按商集合的概念进行分割，根据选择公理提取最小的元素(或最大的元素)，比较按最小的元素(或最大的元素)组成的集合是否为无穷集合，然后比较每一商集化子集的元素是否是无穷的，且计算其所占的比例。这样就型造了一个与幂集合2^N有同样环境的结构。

　　如果有无穷集合在此环境中，诸商集化子集的出现概率之和等于1，也就是与无穷集合2^N有同样多的元素，可以与无穷集合2^N的元素一一对应，故而有同样的基数2^ω。如果某无穷集合在此环境中诸商集化子集的出现概率之和小于1，说明其基数小于2^ω。

　　让我们用自然数集N来实验：若直接用自然数集N中的每一元素作为商集化子集，尽管其商集化子集的最小的元素集与测度中的最小的元素集相同，但每一商集化子集只有一个元素，即每一商集化子集都是最小元素。显然其基数小于自然数的幂集合2^N，有ω_0＜2^ω。我们必须型造一个具有无穷多个元素的商集化子集。设用最小素因数来分割自然数集N，则可以得到具有无穷多元素的商集化子集，而其最小的元素集乃由无穷多个素数所组成的集合。尽管其比自然数列要稀疏些，但也是无穷有序的。对于按最小素因数来分割的自然数集N的诸商集化子集的出现概率，我们有：π(p_1)=1/2,

　　π(p_2)=1/3(1-1/2),π(p_3)=1/5(1-1/2)(1-1/3),......。

　　则诸商集化子集的和，有：

　　{∞∑n=1}π(P_n)={∞∑n=1}(1/{P_n}){n-1∏i=1}(1-1/{P_i})。

　　用1减之，有

　　1-{∞∑n=1}(1/{P_n}){n-1∏i=1}(1-1/{P_i})=∏(1-1/P)。

　　即自然数集N的幂集合之基数2^ω与自然数集N的基数ω_0，从概率的角度来考察，其量差是无穷乘积∏(1-1/p)。

　　我们再来考察实数集R的幂集合。我们知道，实数集R的基数是2^ω，根据幂集合的定义，可知实数集R的幂集合有元素2^w个(w=2^N)。

　　用商集合的概念来分割，且利用选择公理，可知其标识仍可用自然数集N来表示，而诸商集化子集的出现概率之和由概率论中知其不可能有大于1之值。这是因为：剖析实数集R的映射元素{1,2,3}与实数集R的幂集合之映射元素{(1),(2),(3)},{(1,2),3},{(1),(2,3)},{(1,3),2},{1,2,3}，如果不能为子集的包含性被子集{1,2,3}所包含，至少是像有理数与自然数那样，增加了不少元素但并不增加基数。因为都可被归纳在同一个商集化子集中，所以用自然数集N的幂集合之商集化子集的元素完全可以垫充满实数集R的幂集合之商集化子集的元素。之后的幂集合将永远如此，因为均可以用自然数集N作为标识，而诸商集化子集的元素之个数都是无穷大。换言之，实数集R的幂集合不可能型造出比自然数集N的幂集合更多的商集化子集，彼此是可以一一对应的，具有相同的基数。因此，实数集R的幂集合与自然数集N的幂集合都具有相同的基数2^ω。

　　由此可以推断，凡以自然数为元素的任何集合的基数，均不可能有大于实数集R的基数。所以，实数集R的基数2^ω是所有基数中最大的，因此实数轴[0,1]上的点之密度是连续的。换言之，不存在比实数集R更大的基数，让异于实数的点插足于[0,1]之中。

　　但是，若那些非自然数之类的如虚数i=(-1)^0.5等的加盟，实数集R是否能保持其最大的基数位置，则用2^ω测量法是无法测出的，必须另想别法。换言之，这里所谓的基数序列是自数保守的。

　　实数集R的基数2^ω与自然数集N的基数ω_0之概率量差是无穷乘积∏(1-1/p)。如果某无穷集合的基数与实数集R的基数的概率量差小于无穷乘积∏(1-1/p)，说明其商集化子集中不可归纳的最小元素集的出现概率小于自然数集N的最小元素集的出现概率，则其可归纳的元素之出现概率将大于自然数集N的商集化子集中可归纳的元素的出现概率。即其分割成商集化子集的数量比自然数集N的商集化子集的数量多。但比实数集R的商集化子集的数量少。显然，比较基数的概率与1之量差，是恒量基数之大小的方法之一。基数的出现概率小于1，说明其存在着不可归纳的元素。换言之，在商集化子集中，存在着只有一个元素的商集化子集合，其良序化的下降之链，中断于有限处。基数的概率等于1，说明其不存在不可归纳的元素，则下降之链无限。

　　那么，基数的概率究竟是怎样的？前面曾对自然数集N作了考察，得知自然数集N的基数概率与1的量差为无穷乘积∏(1-1/p)。又知实数集R的基数概率为1。

　　显然，在异于实数集R和自然数集N的基数中，其可归纳元素的概率与1的量差是介于0与无穷乘积∏(1-1/p)之间。

　　例如，自然数列中的孪生素数之个数，其在自然数列中的出现概率为：

　　p(1,1)/(N/2)=(1-1/2)(1-1/3){∏p>3}(1-2/p).

　　但在自然数列中是求不出此系数的。因为对自然数集N进行良序化，用选择公理对其进行商集化分割，只能得到以诸素数为最小的元素集的良序化之链。欲求自然数列中孪生素数的个数，必须将自然数集N变换为具有两个元素的集合(a,b)，为简化起见，故不将2和3的倍数列出：

　　(5,7),(11,13),(17,19),(23,25),(29,31),(35,37),...。

　　分割集合(a,b)，根据摩根定律，对所归纳的子集进行商集化的分割，由于存在着两两互不相交的而最小素因数却是相同的商集化子集，所以其良序化之链是偏序的。与自然数列之有序的良序化之链相比，偏序的良序化之链显然比有序的良序化之链的商集化子集要多，则其最小元素集的出现概率就小于有序的自然数集N的良序化之链中的最小元素集的出现概率。诸商集化子集中的元素当集合为无穷集合时，均有无穷多个元素。于是可知，用以计算出孪生素数的个数的无穷集合(a,b)的基数比自然数集N的基数大，其出现概率与1的量差也就比较小。

　　换言之，在无穷集合(a,b)中，用选择公理对其进行良序化分割，存在有只有一个元素的商集化子集，故良序化之链中断于有限处。无穷集合(a,b)的良序化之链是偏序的，说明其所归纳的子集合比自然数集的子集合多(凭直观也能明显地看出，在无穷集合(a,b)中，许多素数是与合数组合在一起构成元素，充分说明了无穷集合(a,b)中的具有素因数p的元素之间隙比自然数列中具有素因数p的自然数之间隙要稠密了许多)。因此，无穷集合(a,b)的基数比自然数集N的基数大。

　　然无穷集合(a,b)的基数之出现概率与1的量差不为零，说明其所归纳的商集化子集还不能将实数集R的商集化子集填满，故而其基数要小于实数集R的基数。

　　如果说有人宣布已经解决了连继统假设而没有将哥德巴赫猜想和孪生素问题等解决，那么，该宣布的真实性就实得怀疑了。

　　五：费尔马大定理

　　三百多年以来悬而未决的费尔马大定理，于二十世纪最后几年时被宣布已经获得解决，可惜世上没有几人能看懂。既然如此，则对该论断妄加评语也是多余的。鄙人不才，却对费尔马大定理有如下的心得：

　　所谓费马大定理乃指：“当n是一个大于2的整数时，则x^n+y^n=z^n这个不定方程没有正整数解”。那么，关于x^n+y^n=z^n 这个不定方程有什么特点呢？

　　给定了x和y的正整数值，显然，x^n和y^n都是正整数。两个正整数相加之值，也是正整数。因此，z^n也是正整数。

　　由于z^n是由两个正整数相加而成，因此z^n比其中任何一个正整数都大，即有：z^n＞x^n，z^n＞y^n。给不等式两边开n次方，有z＞x，z＞y。

　　假定x^n+y^n=z^n 是给定的方程，将等式两边分别除以z，有(x^n)/z+(y^n)/z=z^(n-1)由于z＞x，z＞y，故而有

　　(x^n)/x＞(x^n)/z，(y^n)/y＞(y^n)/z因此有

　　x^(n-1)+y^(n-1)＞z^(n-1)。

　　再有，将等式x^n+y^n=z^n两边分别乘以z，则z(x^n)＞x^(n+1)，z(y^n)＞y^(n+1)因此有

　　x^(n+1)+y^(n+1)＜z^(n+1)显然，对于任意大于2的正整数s和t，若s＜n，t＞n，则总有x^s+y^s＞z^s，x^t+y^t＜z^t所以，在x^n+y^n=z^n 中，给定了x、y和n之值后，任何异于n的正整数指数，函数都不会有等号成立。因此，当给定了x、y和n之值，则z^n是唯一的，从而z也是唯一的。

　　由于在x^n+y^n=z^n中，任何小于n的指数，都有x^s+y^s＞z^s，任何大于n的指数，都有x^t+y^t＜z^t。只有唯一的指数n，函数才有等式成立。因此，不定方程x^n+y^n=z^n是不等式方程从大于变为小于的转折点。

　　在x^n+y^n=z^n中，当n＞2且是偶数时，则有明显的勾股数：(x^{n/2})^2+(y^{n/2})^2=(z^{n/2})^2设n是奇数，则n-1和n+1均为偶数。有(x^2)^{(n-1)/2}+(y^2)^{(n-1)/2}＞(z^2)^{(n-1)/2}(x^2)^{(n+1)/2}+(y^2)^{(n+1)/2}＜(z^2)^{(n+1)/2}作为上述两个不等式的转折点x^n+y^n=z^n，以平方数为底数的方程式是：

　　(x^2)^(n/2)+(y^2)^(n/2)=(z^2)^(n/2)换言之，不定方程x^n+y^n=z^n可以转化为(x^{n/2})^2+(y^{n/2})^2=(z^{n/2})^2.

　　有勾股数x^(n/2)，y^(n/2)，z^(n/2)。有解z^(n/2)=√(x^n+y^n)。用复数来表示，有x^(n/2)+y^(n/2)i=z^(n/2)(cosα+isinα)=z^(n/2)e^(iα)则

　　z=z{cos((2α+2kπ)/n)+isin((2α+2kπ)/n)}=ze^{(i2{(α+kπ)})/n}，0≤k 当n=2时，有z=√(x^2+y^2)。

　　设n＞2，若s＜n，有x^s+y^s＞z^s假设

　　x^s+y^s=(w_s)^s，(u_s)^s+y^s=z^s显然有

　　(w_s)^s-z^s=(x^s+y^s)-({u_s}^s+y^s)=x^s-(u_s)^s=(r_s)^s。

　　对于诸x^s+y^s=(w_s)^s，也有x^(s-1)*w+y^(s-1)*w＞w^s，即有w_(s-1)＞w_s。

　　因此有：

　　w_1＞w_2＞...＞w_(n-1)＞(w_n)=z。

　　则有：

　　r_1＞r_2＞...＞r_(n-1)＞(r_n)=0而(u_s)^(s-1)+y^(s-1)＞z^(s-1)，即u_s＞u_(s-1)，因此，u_1＜u_2＜...＜u_(n-1)＜(u_n)=x可知

　　(w_s)^s-z^s=x^s-(u_s)^s=(r_s)^s并且有

　　w_1-z=r_1，(r_n)^n=0化x^s=(r_s)^s+(u_s)^s，可知也可以用勾股定理解出：

　　(r_s)^(s/2)=x^(s/2)*cosβ。

　　由于x，r_s，u_s均为正数，因此cosβ在第一象限，幅角在0与π/2之间，且有r_1=(r_1)*cos0=r_1，(r_n)^n=x^n*cosπ/2=0当1＜s＜n时，根据复数的乘方法则，可知幅角是倍数关系。因此，幅角是平均分配0到π/2之间的角度，有(r_s)^(s/2)=x^(s/2)*cos(sπ/2n)即有

　　w^s=z^s+x^s*cos(sπ/n)可知

　　(w_S)^S=z^S+x^S*cos(sπ/n)即

　　x^S+y^S=z^S+x^S*cos(sπ/n)则有

　　z^S=x^S(1-cos(sπ/n)+y^S若x^n+y^n=z^n有正整数解，则必须有z^s，1≤s＜n中的z之解均是相同的一个正整数。假设x和y均是正整数，则z^s有正整数之解的必要条件是在1≤s＜n时，x^s(1-cos(sπ/n))之值均有相同的正整数解。但当n＞2时，x^s(1-cos(sπ/n))根据单位圆的n次根中有n个不同的非正整数的根，所以z^s的z没有正整数解。

　　化解n次方为勾股数，并以复数的形式来计算，本是一件很简单的事，但由于以往的研究疏忽了对n次方的实践考察，致使不定方程问题无从下手。纵然如此，一个具体的数值问题，又岂会从复杂的演算变化中生成？实际的数值问题必须由具体的计算来解决，不定方程x^n+y^n=z^n有没有正整数的解，是一个十分实际的问题，并非是一项数学上的理论问题，因此必须用实际计算方法来解决。

　　回眸二十世纪的数学史，正如美国著名数学史家H·彭加勒在《数字：确定性的丧失》的序言中所言：【如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗?显然不会。而且，正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地登上了月球，深测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理论的证实吗?那么，数学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢?当心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗?当然对于人类本身及数学，确实如此。因此我们应该去研究为什么会这样。尽管数学的基础仍不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。】数学中所存在的种种不确定的因素，不能用回避的态度对待。在新的世纪来临之际，对于一些正在呻吟着的数学，应该正确对待之，才能使数学的光芒更呈辉煌。

写于2000-12-28.12:00　摘自人民书城