Sobolev 空间作为现代偏微分方程理论、变分法、几何分析及数值分析中的
重要工具，已成为数学专业研究生必须掌握的基本语言之一。其通过弱导数将函
数的可微性与可积性有机结合，为研究微分方程解的存在性、正则性、稳定性提
供了自然的函数空间框架。近年来，随着非线性分析、几何测度论等领域的深入
发展，Sobolev 空间的理论与方法不断得到深化与拓展。
目前国内已有多部优秀的 Sobolev 空间或泛函分析专著，但其大多内容涵盖
广泛、篇幅较大，或预设了较高的实变函数与泛函分析基础，而对于初次系统学
习该方向的研究生而言，其往往需要一部线索清晰、重点突出、兼顾严格性与可
读性的入门教材。本书正是基于这一教学实际需求，结合作者多年在研究生课程
“Sobolev 空间理论”中的授课经验编写而成。
本书的编写遵循以下思路:
（1）强调基础，循序渐进: 从拓扑与泛函分析的基础概念出发，逐步引入 Lp空间、弱导数、Sobolev 空间等核心对象，力求使具备数学分析、实变函数基础的
学生能够顺利入门。
（2）突出主干，简明扼要: 围绕 Sobolev 空间的构造、基本性质、嵌入定理、
逼近与延拓等核心主题展开，避免过分展开分支内容，保持“简明教程”的定位。
（3）注重直观，揭示联系: 在严格推导的同时，尽可能通过通俗易懂的语言等
阐释重要概念与定理的意义，强调不同章节内容之间的内在联系。
（4）体现现代，适度延伸: 在系统讲授经典理论（整数阶空间、Sobolev 嵌入）
的基础上，专设章节介绍基于 Fourier 变换的分数阶 Sobolev 空间，反映该领域
的基本发展方向，帮助读者为进一步学习现代偏微分方程理论做准备。
全书内容安排如下: 第 1 章回顾必要的预备知识。第 2 章系统研究 Lp(?) 空间，这是理解 Sobolev 空间的测度与积分基础。第 3 章正式引入整数阶 Sobolev
空间，深入讨论其各种基本性质与构造技巧。第 4 章是本书的核心，全面阐述
Sobolev 嵌入定理及其各种重要变体（如 Poincaré 不等式、迹定理）。第 5 章作
为扩展，介绍分数阶 Sobolev 空间 Hs(Rn) 的基本理论。附录给出了精细 Morrey
估计的一个完整证明。
本书可作为数学、应用数学、计算数学等专业研究生一学期（约 48～64 学时）
课程的教材。教师可根据教学实际，灵活选取章节: 若侧重经典理论，可重点讲授
第 1～4 章；若希望引入分数阶空间，则可包含第 5 章的主要内容。
在本书编写过程中，我们参考了国内外众多优秀著作（详见书末参考文献），
特别是 L. C. Evans 的 Partial Differential Equations、H. Brezis 的 Functional
Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 等经典教材，从中获
益良多。在此，谨向这些前辈与同行致以诚挚的谢意。
本书获得广西自然科学基金创新研究团队项目“非线性偏微分方程的数学理
论研究”的资助。感谢广西师范大学数学与统计学院对教材编写工作的大力支持，
感谢多年来选修本课程的研究生同学们，他们的提问、讨论与反馈是完善本书内
容的重要动力。同时，也要衷心感谢广西师范大学出版社科技图书出版事业部编
辑们的辛勤付出与专业建议。
限于作者水平，书中难免存在疏漏或不妥之处，恳请各位专家、同行和读者
不吝指正，以便今后进一步完善。
