逻辑、数学及本书的范围
“逻辑”一词有多种不同的用法。就目前的目的而言，我们可以方便地区分出三种。在一种意义上，（纯粹的或形式的）逻辑关注有效语句，它们独立于任何特定的题材而成立，或者说，在一切可能世界中都为真。这个概念有一个含混的地方，会引出一个令人困惑的问题，它可以归结为是否应当把纯集合视作一种特殊题材这个问题。看起来很清楚的一点是，排除掉必然涉及无穷大、不可数性等概念的集合，我们确实能够得到一个足够重要的逻辑概念。因为我们完全不打算考虑模态逻辑，我们由此也就得到了第一个也是最狭窄意义的逻辑概念：（初等的或纯粹的）逻辑无非就是带或不带等词的量化理论或（一阶）谓词演算。
逻辑的第二种意义，大致对应着通常所说的数理逻辑，除了纯粹逻辑，它还包括模型论、递归论，以及对整数、实数和集合的公理化处理。在这些情形中，逻辑与元逻辑和元数学是紧密地混杂在一起的。
逻辑的第三种也是最宽泛的意义，则远没有那么明确。它是关于纯粹理性的探究或对理性之物的诊治。在这种宽泛的意义上，发现的逻辑、发展的逻辑、某种形式的归纳逻辑、某种形式的辩证逻辑，都可以被包括在内。虽然我们对这些方面中的一些确有兴趣，我们在本书中却不会谈论此宽泛意义上的逻辑，而是把自己限制在前两种更明确、更狭窄的意义上。
我们不仅对数理逻辑在数学基础问题和一般哲学上的应用感兴趣，还关心那些超出数理逻辑但却能弥补它在对人类知识之一般研究方面的局限性的观念。这样，逻辑一般地与直觉或默会知识形成对比，至少在当前状态下，逻辑还不能处理思维活动（与理想化的最终结果相比），尤其是在效率上达不到。从逻辑或任何抽象观点的角度研究知识现象，一个更基本但相关的局限性是，这样做有忽视各知识分支的基本关注点的危险。正是为了弥补强调逻辑的这一缺陷，我们试图从实践和活动的多个视角考察数学。
在一种形式的意义上，数理逻辑包含数学，因为它包含公理集合论，全部数学形式上都可以还原为后者。另一方面，我们清楚地知道，数理逻辑在实践上只是数学的一个特殊分支，并且事实上不常被视作很核心的分支。这一“悖论”使得如下观点变得十分可信：在数学哲学研究中把注意力集中在数理逻辑上的做法，是片面的和不恰当的。
数理逻辑的一个主要任务是精确刻画基本的数学概念，如自然数、实数、集合和（逻辑上正确的）证明。实现该目标的一个基本工具是公理系统和公理方法。对公理系统的反思导向元数学和模型论，前者主要关心对符号操纵（语形）的一般研究，后者则研究公理系统的解释（语义）。语形方面的考虑与人们对构造性方法的兴趣密切相关，涉及对机械程序或严格形式的这个概念的一个惊人地优雅的刻画。这恰好为计算机准备了一个抽象的理论。而计算机反过来又表明，执行逻辑学家所设想的乏味的形式证明是实践上可能的。这激励人们以更精确的方式研究逻辑和直觉在数学探索活动中所扮演的角色。因此，对知识和逻辑的研究包含对心灵和机器、计算机和数学活动的考量，这并非是不自然的。
对模型和解释的兴趣自然地引向集合这一中心概念。事实上，集合的核心地位以很多不同的方式显示出来。我们能有一个完备的纯逻辑形式系统（一阶逻辑的完全性问题），其表述本身就依赖于“任意集合”这个概念。只有使用二阶理论，即预设一个固定的关于任意数集的概括概念时，我们才能用公理系统对自然数和实数做出唯一的（范畴性的）刻画。这样我们一次次看到，我们诉诸集合的概念来核证其他领域的绝对性结果。另一方面，我们对集合却没有一个类似的完备刻画。即使我们使用二阶理论并诉诸更高阶的类概念，从而丰富集合的每一个类型或秩（增加稠密度），我们也无法冻结集合（在长度上）向着越来越高的秩的开放扩张。集合论的另一个令人着迷的特征是这样一个明显的悖论：对其基础的怀疑普遍存在，但我们却能获得很强的直觉以非形式的方式达到正确、有趣、融贯的概念和定理。此外，关于数学对象和一个给定知识分支的内在资源的哲学问题，引人注目地聚焦在集合论的考察中。基于这些理由，在思考知识和逻辑时，集合的概念值得注意。
我们是以逻辑还是以数学为知识哲学的中心，这是有差别的。如果以逻辑为中心，纯逻辑（第一种也是最狭窄意义上的逻辑）就拥有主要的认识论地位，研究重点在于由话语的一般形式和条件产生的概念和判断。相比之下，数学则强调数和空间，或更一般地理想化的结构，它们为不同科学提供简化而可操纵的模型。数学是一门比逻辑学更具实质性的学科，因为我们能想到数、函数、空间等数学对象。诚然，这些都不像物理对象，事实上，有许多理由认为数学对象只由数学结构决定。但尽管如此，在应用数学捕捉我们关于自然过程的知识中的理论上精确的成分时，这些神秘朦胧的对象极其有用。
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有些时候，计算机可以用来辅助纯数学（例如数论）的研究，比如验证特例或检查计算和证明的正确性。既然所使用的计算机是物理世界的一部分，我们似乎是在援引物理现象来核证数学结果。但这里我们感兴趣的显然主要是所用计算机的抽象性质，我们的结论本质上不依赖于计算机是哪个特殊的物理对象，也不依赖于其具体的物理性质。
一个更严肃的例子也许是这样的想法，牛顿物理学对牛顿式世界而言是真的。虽然我们现在都相信牛顿物理学对现实世界不是严格地为真，我们仍然会宣称，当被正确地应用时，它是真的，甚至是先天的。人们也许觉得，这与没有什么两样，后者在被误用在云朵或怀孕的兔子身上时并不会被证伪。然而，仍会有一种模糊的感觉，觉得更抽象，它有广泛的例子，而牛顿物理学则只是处理一个可以说是独一无二的东西，即真实的物理世界或其部分。我们还感到，牛顿物理学旨在如其所是的描述这个世界，而包含更多的概念性元素；就应用范围而言，我们对它似乎比对牛顿物理学拥有更清楚的观念。牛顿式世界的构想是难以实现的，因为某些自然条件排除了这个物理世界是牛顿式世界的可能性。的情况则极为不同。
有一种自然的倾向是，对数学和物理学是否不同这个问题感到不耐烦。那些希望强调差异的人，往往视其为先天与后天或分析与综合之区分的核心。但这样的差异究竟有何作用，并不清楚。如果一个人相信，哲学追求先天命题，那么也许可以得出结论，哲学更像数学而不是物理学。但通过考问结论，也许我们会对这个假设产生怀疑。毕竟，物理学涉及这个唯一的物理世界的基本方面，而数学看起来业务范围更加发散，处理各种抽象的可能性。如果像我们相信的那样，现实的比可能的更核心和更重要，那么更合理的做法似乎是，期望哲学关注现实物理世界和精神世界的基本特征，或更加紧密地关注人类拥有的实际知识。
在日常生活中，人们认为，物理学与数学的联系比与其他自然科学的联系更紧密。因此，考察物理学与数学之间的相互联系和相似性是有趣的。康德的先天综合理论的一个优点是，不仅将物理学（与知性相联系）与数学（与直观形式相联系）相区别，同时还强调它们之间的相似性，体现在这一论题中：它们都与人类心智的工作方式紧密相关。
数理逻辑的发展与形式化的思想相联系。逻辑学家有时被指责持有这样的信念，认为存在的就是形式的。在初等教育领域，近来有一种对数学的形式化方面的不幸的强调。在高等数学中，也有传统与堆砌定义的现代潮流之间的一个争论。人们关于传统数学的观念里有四种不同的元素。第一，人们似乎认为，传统数学一般地更接近其在物理科学中的应用。第二，传统主义者认为，旧的数学问题是数学的核心，因为它们更自然，涉及的结构更少，而且更容易陈述。第三，有这样一种看法，认为传统数学对数学结果的数字内容更感兴趣，因而是偏向构造性的，即使这常常是无意识的。根据这种观点，逻辑学家们将经典数学与构造性数学（特别是分析）对立起来的做法，是基于一个误解。不过，构造性的概念原是理想化的期待，未被清楚地研究。第四，传统数学更注重直观，以欧几里得几何学为例，试图把它变得更加形式化，至少从教学法上说是一个错误。基础的（根本的）区别是，传统数学没有那么抽象。
虽然这些要点及其所蕴含的对很多当代实践的传统主义批评不无道理，所涉及的问题却绝不属于那种会有简单明快的答案的类型。例如，我们可以说，集合论学家诉诸他们的直观来寻找新公理，但使用形式推演以确定新公理能否判定连续统的基数。群和域的概念无疑具有数学意义，但人们可以合理地声称，它们是用形式化方法被挑选出来的。甚至在研究公理和假设的独立性这一十足形式的问题时，最好的结果也是通过广泛运用数学直观得到的。有一个关于明晰性的困难问题：形式化方法有时有助于获得明晰性，有时又会对它产生阻碍。事实上，当被用在数学活动而非最终结果上时，形式化方法这个概念本身是高度歧义的。
关于数理逻辑的一个引人注意的现象是，它发展地越来越数学化。随着它变得数学上更有趣，逻辑学家们发现自己被吸引到数学活动的漩涡之中。与此同时，在对人类知识之基础的哲学理解上，它的贡献似乎在减少而非增加。这一现象可以通过澄清一个错误信念来部分地解释：随着我们更好地理解数理逻辑的本性，我们发现，早期对其哲学重要性的信念很大程度上是一个幻觉。但另一个原因可能是受追求更明确的结果的社会心理驱动。这造成一种影响，使逻辑在哲学上更重要的方面没有得到发展，并且被不那么重要但给人印象更深刻的数学进展埋没。
逻辑的中心地位与实际知识相当脱节。如果我们区分知识的三个主要方面——最终结果、活动和进步，逻辑作为用来形式化全部科学知识的工具，似乎仅关心最终结果。甚至在这一方面，也有一种不切实际的假定，以为科学理论已经在数理逻辑或纯逻辑的框架内得到表达和形式化。由于它们事实上不是这么表述的，并且一般来说目前也不适合这么表述，关于理论的本体论假设和形式真定义等问题的很多讨论呈现出一种假设和虚幻的气氛。有人可能希望把这种假设性研究与数学相比，但它如何能自然地融入人类知识的框架，仍然不清楚。
有些知识部门，特别是数学和关于计算机的研究，在许多方面确实比较接近逻辑，并因此更有可能从数理逻辑的严格、普遍的结果获益。无论如何，鉴于逻辑在当前知识哲学中处于中心地位，把逻辑作为一个起点看起来是合理的，尽管我们对过分地强调逻辑深感疑虑。
——节选自王浩著，高坤、邢滔滔译，《从数学到哲学》，广西师范大学出版社2024年5月出版
